El tiempo puede tener muchas propiedades, que hoy no discutiremos: puede ser abierto o cerrado (o sea cíclico), continuo o discreto (o sea que da saltos), etc. Lo consideraremos continuo y abierto, o sea isomorfo a una recta.
El tiempo puede tener muchas propiedades, que hoy no discutiremos: puede ser abierto o cerrado (o sea cíclico), continuo o discreto (o sea que da saltos), etc. Lo consideraremos continuo y abierto, o sea isomorfo a una recta. Lo único que discutiremos es si podemos orientar esta recta, desde un extremo que llamaremos “pasado” a otro extremo que llamaremos “futuro”. Si tal podemos hacer diremos que hemos establecido una “flecha del tiempo” y entonces, dados dos puntos en nuestra recta, de coordenadas t y t’, tales que t
1) ¿La explican las leyes físicas?Luego de Galileo pensamos que las leyes físicas fundamentales no consideran fuerzas tales como el rozamiento, la viscosidad, etc, que amortiguan el movimiento (las que serán consideradas al final de la discusión). Es por ello que se puede formular la ley de inercia: “una partícula no solicitada por fuerzas tendrá un movimiento rectilíneo y uniforme” porque, en efecto, asumimos que no hay rozamiento que las detenga.. En esta perspectiva podemos decir que todas las leyes físicas fundamentales: las leyes de Newton de la mecánica, las leyes de Maxwell del electromagnetismo, las ecuaciones de Einstein de la relatividad, o las de Schroedinger de la mecánica cuántica, son todas invariantes frente a inversiones temporales, que son aquellas que cambian t por -t. Por ejemplo, si cambiamos en el Principia de Newton t por -t y consecuentemente pasado por futuro el Principia sigue siendo válido. En consecuencia, para las leyes físicas fundamentales, no hay diferencia substancial entre pasado y futuro de modo que esta diferencia no es dada por tales las leyes.
2) ¿La explican los procesos irreversibles?¿La explicarán los procesos irreversibles, como la muerte que siempre ocurre en el futuro del nacimiento?...Es curioso pero tampoco estos procesos explican la flecha del tiempo. Los procesos irreversibles son los que llevan de estados fuera del equilibrio, como la vida, a estados en equilibrio final, como la muerte. La física explica estos procesos perfectamente. Por ejemplo: tomemos un péndulo si, partiendo de una posición cualquiera, lo ponemos en movimiento con una velocidad calculada podemos hacer que llegue a la parte más alta posible de su trayectoria y allí se detenga y permanezca en estado de equilibrio inestable, o que llegue a la parte más baja y allí permanezca en estado de equilibrio estable, realizando, en consecuencia, movimientos irreversibles. Además, dado un movimiento cualquiera del péndulo, invirtiendo su velocidad en cierto instante, puesto que las leyes fundamentales de la física son invariantes frente a inversiones temporales, lo podemos hacer moverse simétricamente en el sentido contrario, saliendo por ejemplo de un estado de equilibrio y llegando a un estado de desequilibrio. Entonces vemos que la dirección desequilibrio - equilibrio no da la flecha del tiempo, al menos en movimientos simples como el del péndulo, porque tal movimiento puede invertirse. Todo esto puede hacerse sin gran dificultad porque se trata esencialmente de una sola partícula. Pero la cosa se complica grandemente si tomemos un caso con muchas, muchísimas, partículas. Tomemos por ejemplo el famoso ejemplo de la gota de tinta en el vaso de agua de Gibbs. Tomemos un vaso de agua y echemos en él una gota de tinta (estado inicial fuera del equilibrio). La veremos distribuirse en filamentos hasta ocupar la totalidad del vaso (estado final de equilibrio). Es muy difícil concebir que este proceso pueda invertirse. Sin embargo, si tuviéramos la tecnología suficiente, y pudiéramos invertir el movimiento en un instante dado. Entonces veríamos reconstruirse la primitiva mancha de tinta. ¿Es esto magia? Tal vez lo sería en el del vaso y la tinta, pero no lo es en un caso donde las cosas pueden ser controladas.Tomemos una fina capa de parafina entre dos cilindros uno fijo y uno móvil y una mancha de tinta en la parafina. Rotemos en cilindro móvil, veremos expandirse la mancha de tinta como en el ejemplo anterior. Pero si invertimos la rotación del cilindro móvil invertimos simultáneamente la dirección de todas las velocidades de modo que veremos efectivamente reconstruirse “mágicamente” la gota de tinta.En consecuencia, invertir o no un movimiento irreversible es una pura cuestión de tecnología. En efecto, se lo puede hacer también en algunos casos microscópicos con en el “spin echo”. En consecuencia: si decimos que la flecha del tiempo va del desequilibrio al equilibrio enunciamos una “ley” con un gran numero de excepciones. Una mala ley ya que las leyes no pueden tener excepciones. En consecuencia este tampoco es el camino correcto.Y, puesto que las leyes fundamentales de la física son invariantes frente a inversiones temporales, para cualquier objeto que nos parezca definir la flecha del tiempo hacia el futuro, como por ejemplo un estado de equilibrio hacia el futuro, podremos, invirtiendo el sentido del movimiento, encontrar un objeto idéntico hacia el pasado, por ejemplo un estado de equilibrio en el pasado. La física está plagada de estos ejemplos: soluciones avanzadas y retardadas en el electromagnetismo, semiconos de luz hacia el pasado y el futuro en la relatividad especial, polos de la matriz de scattering en los semiplanos superior o inferior del plano complejo, etc. Llamaremos a estos pares mellizos t-simétricos ya que no se los puede diferenciar, al menos con los métodos que hemos descrito hasta aquí..Vemos pues que el problema es bastante difícil. En efecto constituye uno de los grandes problemas en la fundamentación de la física.
3) Convencional vs substancial.A esta altura es conveniente que definamos dos conceptos muy importantes para nuestro análisis: convencional y substancial.En geometría hay objetos idénticos: los puntos, las rectas, los planos... En física también hay objetos idénticos los electrones, las direcciones del spin...Decimos que establecemos una diferencia convencional cuando, obligados por el razonamiento que estamos haciendo, damos nombres distintos a objetos idénticos. Por ejemplo cuando llamamos A, B, C a los tres vértices de un triángulo equilátero.Decimos que establecemos una diferencia substancial cuando damos nombres distintos a objetos no idénticos, si bien los nombres son siempre convencionales.La diferencia entre los dos extremos de in segmento AB es convencional porque los dos puntos extremos son idénticos. La diferencia entre los dos extremos de una flecha AB es substancial porque un extremo es de plumas y el otro de metal, y las plumas no son idénticas al metal.El problema de la flecha del tiempo es entonces hallar una diferencia substancial entre pasado y futuro o entre los mellizos t-simétricos de cualquier par de mellizos de la física.
4) Einstein y la cosmología.La teoría de la relatividad general de Einstein es el fundamento de la cosmología científica moderna que, a su vez, es la base para resolver el problema de la flecha del tiempo. En la relatividad general el espacio-tiempo no es más plano, como siempre lo hemos representado. Este hecho permite concebir el espacio como un objeto geométrico dotado de asimetría temporal y encarar la solución del problema que nos ocupa..Pero ¿cómo y porque el espacio-tiempo es curvo? Einstein quería introducir en su teoría de la relatividad especial la gravitación, descripta con gran precisión por la ley de gravitación universal de Newton y no podía. En efecto, por más de diez años lo intentó sin lograrlo. Entonces tuvo una intuición genial. Si no podía explicar la gravitación entonces una solución drástica era negar su existencia. Eisntein de un plumazo dijo “la gravedad no existe”, pero obviamente esta afirmación no era gratuita porque para hacerla Einstein tenía que explicar de alguna otra manera todos los fenómenos gravitatorios que evidentemente existen en la naturaleza. Einstein los explico afirmando que el espacio-tiempo no era plano sino curvo.En efecto, consideremos un proyectil arrojado con una cierta velocidad inicial y no solicitado por fuerza alguna: por cierto seguirá una trayectoria rectilínea y uniforme (cuyo diagrama espacio-temporal es la recta inclinada en la figura 1). Supongamos que el mismo proyectil esta solicitado por le gravitación (representado por las flechas verticales de la figura 2). Entonces seguirá una curva llamada parábola. Pero si la gravedad no existiese se volvería automáticamente a la figura 1. Sin embargo esto no pasa porque el espacio-tiempo es curvo y en tal espacio no hay rectas, que en el espacio plano sostiene la distancia más corta entre dos puntos, sino geodésicas que son curvas con la misma propiedad en tal espacio: la geodésica en el espacio curvo también sostiene la distancia más corta entre dos puntos. Por ejemplo, tomemos la Tierra que es una superficie curva (figura 3) y dos ciudades sobre el ecuador: Quito y Singapur. Para ir de Quito a Singapur no vamos por la línea recta (lo que implicaría salir de la superficie curva y excavar un túnel debajo del Pacifico) sino por el ecuador que es una geodésica, que ciertamente es un trozo de circunferencia y no una línea recta. De modo que si decimos que, los objetos no solicitados por fuerzas (entre ellos los solicitados por la gravitación ya que ésta no existe) siguen geodésicas y elegimos estas geodésicas de manera conveniente (figura 4) vemos que efectivamente nuestro proyectil “no solicitado” sigue una geodésica curva (la curva resaltada de la figura 4). Esta aparentemente extraña idea es el principio de la relatividad general, que hoy en día puede considerase como definitivamente aceptada.Entonces el universo, sede de todas las fuerzas gravitatorias, podrá considerarse curvo, algo mas o menos como el representado en la figura 5, donde también hemos dibujado el eje de los tiempos. Sabemos además que de acuerdo con numerosísimas observaciones astronómicas nuestro universo comienza muy pequeño y denso (en el llamado Big-Bang) y termina muy grande y diluido ( en lo que ahora se llama el Big-Rip). Pero el Big-Bang y el Big-Rip son substancialmente diferentes, uno pequeño y denso, el otro grande y diluido, y de esa manera podemos establecer una diferencia substancial entre pasado y futuro, como lo establecimos en la flecha, diciendo que el tiempo comienza en el Big-Bang (= pasado = plumas) y va hacia el futuro o sea hacia el Big-Rip (= futuro - metal). Esta es la definición que adoptamos de la flecha del tiempo.
5) ¿Y si los cosmólogos se equivocaron?Basados en numerosísimas observaciones los cosmólogos nos aseguran que la evolución del radio del universo es como el dibujado (en línea llena) en la figura 6. ¿Qué pasaría si los cosmólogos se hubieran equivocado y no fuera así, sino como el de la línea de trazos de la misma figura, donde el universo llega, no ya al Big-Rip sino al Big-Crunch? En el modelo (pasado de moda) del Big-Crunch el universo termina tan pequeño y denso como empezó en el Big-Bang. Mas aun el universo podría ser simétrico como el de la figura 7 (un modelo popularizado en su tiempo por Stephen Hawking) en cuyo caso Big-Bang y Big-Crunch serían idénticos y no existiría la asimetría necesaria para distinguir el pasado del futuro.Si bien esta es una posibilidad su “probabilidad” es nula ya que se puede demostrar (ver bibliografía 3-7) que los universos simétricos son casos infinitamente particulares del conjunto de los universos asimétricos. El lenguaje matemático riguroso el espacio de los universos simétricos es un subespacio propio del espacio de todos los universos. De modo que no nos tenemos que preocupar por esta objeción.
6) De lo global a lo local.Hemos pues demostrado el origen cosmológico de la flecha del tiempo, pero nuestra tarea no esta completa. En efecto, todos nuestros razonamientos han sido cosmológicos, vale decir globales, y nosotros percibimos el devenir del tiempo de manera muy distinta, de una manera local. No medimos el radio del universo todas las mañanas para verificar que el tiempo ha transcurrido en su correcta dirección. Simplemente sentimos que el tiempo fluye. Volvamos pues a la figura 5 donde hemos dibujado flechas que representan el flujo de energía en el universo. Ellas parten del Big-Bang, pues esta "gran explosión" es fuente de casi toda la energía del universo, y se prolongan hacia el futuro. Vale decir que la dirección del flujo de energía es localmente del pasado al futuro. Observemos que ahora esta frase tiene un sentido muy preciso porque ya hemos definido perfectamente que es el pasado y que es el futuro de manera cosmológica. Esta propiedad del flujo de energía se llama de “condición de energía dominante” y los cosmólogos consideran que es satisfecha en todo el universo (salvo en casos por el momento meramente teóricos como los agujeros de gusano, o cierta forma del efecto Casimir).El flujo universal de energía se halla presente en cada proceso que ocurre en el universo y en consecuencia en cada punto del mismo, o sea de manera local, y permite establecer una diferencia substancial en cada uno de los mellizos t-simétricos que presenta la física como se demuestra en la bibliografía [3-7]. La dirección del flujo de energía es, en efecto, global como lo ilustra el diagrama de “Reichenbach” de la figura 8. Cada rectángulo de la figura es un proceso que consiste en la aparición de un estado fuera del equilibrio, a costa de energía bombeada del pasado, y la posterior llegada al equilibrio, con el consiguiente flujo de energía enviado hacia el futuro. El conjunto de todos estos procesos constituye una imagen de la dinámica del universo. Por ejemplo. Tomemos un trozo de metal con temperatura uniforme y en consecuencia en equilibrio térmico. Para sacarlo de ese estado debemos calentar uno de sus extremos, por ejemplo con un mechero a gas que claramente recibe su energía (contenida en el gas) del pasado (claramente, el gas salió de un pozo en el pasado). Una vez que tenemos el trozo fuera del equilibrio podemos sacarle energía, por ejemplo poniendo una maquina térmica entre sus partes fría y caliente. La energía así obtenida se podrá utilizar en el futuro. De modo que para crear un desequilibrio debemos bombear energía del pasado y la llegada del desequilibrio al equilibrio produce energía hacia el futuro.Contemos pues la historia de la gota de tinta en el vaso de agua del presente hacia al pasado (véase figura 8). El estado fuera del equilibrio gota de tinta en un vaso de agua se creó comprando tinta y echándola en un vaso de agua. La tinta se compró en una fábrica de tinta donde un alambique la produjo. El calor necesario para hacer funcionar el alambique se sacó de un horno donde carbón (estado inestable) se quemó obteniendo cenizas (estado estable), produciendo la energía necesaria. Pero el carbón fue un árbol en un bosque primitivo. El árbol creció mediante energía obtenida del sol donde se quema hidrógeno (estado inestable) obteniendo helio (estado más estable). La energía para crear el sol y todas las estrella se obtuvo de Big-Bang, fuente universal de toda energía. De modo que el proceso arquetípico, la gota de tinta en el vaso de agua, tiene su origen último en el Big- Bang. Una historia análoga puede contarse para todo proceso, por ejemplo nuestro calor corporal que es irradiado a la persona sentada en la butaca aledaña (hacia el futuro). Dejo es problema de llegar desde este proceso al Big-Bang como ejercicio.De esta manera la asimetría cosmológica-global se transforma en la asimetría cotidiana local que experimentamos como la noción intuitiva del flujo del tiempo.
7) ¿Y la entropía?En la gran mayoría de los trabajos sobre el tema la flecha del tiempo se la define como la dirección en que crece la entropía y nosotros no hemos siquiera de esta variable de estado de la termodinámica. No lo hemos hecho porque creemos que nuestra exposición, basada en la cosmología, es la más directa y concluyente, pero no podemos terminar sin demostrar que la entropía crece efectivamente en la dirección de nuestra flecha. La misma explicación mostrará, esperamos, que en efecto es mejor dejar la entropía para el final.La termodinámica es un capitulo “fenómeno lógico” (o sea no fundamental) de la física y la segunda ley de la termodinámica que dice que la entropía crece hacia el futuro en los procesos irreversibles (donde efectivamente hay rozamiento y viscosidad). Esta ley no es pues una ley fundamental. Veamos como la podemos deducir a partir de las leyes fundamentales. Comencemos con un estado de equilibrio a temperatura constante (como el trozo de metal que ya hablamos) entonces en fórmulas T=cte. y la diferencia de temperatura entre dos puntos es cero, en fórmulas dT=0. Esta dT se llama afinidad o fuerza termodinámica A. Calentemos un extremo del trozo de metal y obtendremos un estado fuera del equilibrio donde T=var. y dT=A no = 0. La termodinámica de los procesos fuera del equilibrio nos dice que entonces aparece un flujo de calor J dado por la ecuación (las fórmulas que siguen están super-simplifícadas y sirven solo para dar una idea):J=CAdonde C es una constante fenomenológica positiva (del tipo de las que dan cuenta del rozamiento y la viscosidad). La termodinámica también nos dice que la producción de entropía S esidS=JA =CAA2>0de modo que la producción de entropía es positiva y la entropía S crece como quiere la segunda ley.Pero como las leyes fundamentales de la física son invariantes frente a inversiones temporales también es el posible comenzar con un estado fuera del equilibrio con la misma A=dT e ir al equilibrio con A=dT=0. Claro en este proceso los flujos tendrán necesariamente dirección contraria de modo que tendremosJ=(~C)Adonde ahora la constante fenomenológica -C es ahora negativa. También tendremos que la producción de entropía S esdS=JA=-CAA2<0de modo que la producción de entropía es negativa y la entropía S decrece!!!Esto no es nada nuevo, ya (presentado de otra manera) en 1911 Tatiana y Paul Ehrenfest lo usaron para criticar los trabajos de Boltzmann, el pionero en la investigación de los procesos irreversibles. En realidad las leyes fundamentales nos hacen ver que nuevamente tenemos dos mellizos t-simétrico, el mellizo ‘termodinámico” donde la entropía crece y el mellizo “anti-termodinámico” donde la entropía decrece. Esto es ya fue dicho ya que las evoluciones termodinámicas son un caso particular de proceso irreversible discutido en el punto 2. Entonces, como en ese punto 2 podemos privilegiar el mellizo termodinámico diciendo que es más fácil de producirlo (si no disponemos de una buena tecnología), o sea es más fácil quemar carbón que reobtener el carbón de sus cenizas. Esta idea es bastante buena y explica porque el crecimiento de la entropía y la segunda ley de la termodinámica sean tan exitosas y se puedan usar en tantos casos. Pero a esta solución se les puede hacer todas las críticas que hiciéramos en el punto dos: con una buena tecnología podemos obtener evoluciones anti-termodinámicas y en consecuencia el otro mellizo.Por ello preferimos usar el criterio que ya hemos discutido. Comencemos diciendo que puede demostrase que el estado de equilibrio térmico es un estado de máxima entropía. Entonces los dos mellizos son substancialmente distintos porque el proceso antitermodinámico, donde la entropía disminuye y el sistema se aleja del equilibrio, solo se produce si se bombea energía del pasado, mientras que el proceso termodinámico, donde la entropía crece y el sistema se acerca al equilibrio, produce y difunde engría hacia el futuro.Con lo cual podemos enunciar una segunda ley de la termodinámica corregida. La entropía crece hacia el futuro (en los procesos que disipan energía hacia el futuro y que usualmente pueden producirse con baja tecnología).Con lo cual creo que he presentado un resumen sucinto pero auto-contenido del problema, por lo que doy por terminado mi humilde cometido.
